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哥廷根曾是天下数学的中心，被誉为数学圣地。本文将主要先容哥廷根数学家数的历史，包括柏林大学数学的兴起对学术研究的有趣，谨防于黎曼死亡之后和克莱因之前多位伟大数学家的孝顺与影响。哥廷根数学发展受多种身分影响，历经调节，其发展历程展示了数学发展与大学、东说念主才、战术等方面的考究接洽。
撰文 | 王涛哥廷根数学家数的兴起号称是数学史上最为灿艳的篇章之一，在20世纪的前30年里，哥廷根这座不起眼的小城完全是天下数学的中心，被誉为数学圣地，少见学的“麦加”之称。伟大的数学传统、浓厚的学术氛围使每一个数学东说念主痴迷，而哥廷根数学的东说念主和事更是一说念靓丽的风景线。
哥廷根数学的伟大传统，为高斯（C.F. Gauss，1777-1855）独创。其继任者齐是德国最有声望的数学家，如狄利克雷（P.G.L. Dirichlet，1805-1859）和黎曼（G.F.B. Riemann，1826-1866）。诚然他们鼓励了高斯的功绩，但和高斯雷同，他们齐未能给哥廷根带来黄金岁月。不仅如斯，1866年，跟着19世纪最富独创性的数学家黎曼的死亡，哥廷根大学的数学插足了一段相对比较困难的时期。而与此同期，德国简直总共的大学——莱比锡、哥尼斯堡、埃尔朗根、波恩——齐有知名的数学素质。在克莱因（F. Klein，1849-1925）1886年到达哥廷根大学之前，哥廷根大学并不具有上风，数学素质席位一度空白致使找不到顺应的替代者，这与其时柏林大学数学东说念主才济济、兴旺发达的风景酿成了显然的对比。
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哥廷根数学传统的缔造者、被誉为数学王子的高斯（1777-1855）图片
高斯的继任者——狄利克雷（1805-1859），他曾先后在柏林大学和哥廷根大学任素质图片
狄利克雷的继任者、高斯的雀跃弟子黎曼（1826-1866），曾侍从狄利克雷在柏林学习过一段时期柏林大学数学的兴起19世纪中世的德领路远不是一个调治的国度，而是分为万里长征的邦国。哥廷根位于汉诺威王国内，柏林位于普鲁士王国内。其中普鲁士柏林大学的兴起完全值得一提。
1806年第四次反法同盟失败，作为同友邦之一的普鲁士简直扫地俱尽，不久，柏林也死字。拿破仑残忍地对待了普鲁士，这使得普鲁士发誓要报仇。施泰因、哈登堡、洪堡从政事、经济、军事和栽种各个方靠近普鲁士进行了纠正，其中栽种纠恰是重中之重。1809年，诞生于波茨坦贵族家庭的威廉·冯·洪堡（Wilhelm von Humboldt，1767-1835）出任普鲁士栽种文化部部长，掌管普鲁士总共的栽种文化事务，在少顷的任期内，洪堡纠正了普鲁士引以为傲的栽种轨制。洪堡建立了新的栽种轨制，设初等栽种、中等栽种和高档栽种三个档次；遴聘新的教化法，规则唯有受过查验的及格磨真金不怕火才能任教。不少德国顶级数学家齐曾在中学任教，包括晚年被视为德领路民族强人的魏尔斯特拉斯（K. Weierstrass，1815-1897），其时好多效果齐需要他拍板才能获取招供，比如1882年林德曼（C.L.F. Lindemann，1852-1939）解释π的杰出性。图片
亚历山大·冯·洪堡（1769-1859）洪堡的栽种纠正得到了普鲁士国王威廉三世的支抓，威廉三世不仅接受了洪堡的提议，致使不吝将豪华的王宫——海因利希宫孝顺出来作校舍，筹建一所重心大学。就这么，一是以国王的名字——弗里德里希·威廉定名的大学缔造了，这即是当今闻明的柏林大学。国王威廉三世致使用我方的家底每年为柏林大学拨款15万塔勒。其时他给素质们说说念：“这个国度必须用它精神上的力量来弥补它物资上的亏损，……，栽种不仅不会使国度贫穷，相背栽种是开脱空匮的最佳本领！”由于洪堡重大的孝顺，柏林大学也被称为“洪堡大学”。在柏林大学的创办和发展历程中，亚历山大·冯·洪堡(Alexander von Humboldt，1769-1859)阐扬了遑急的作用。亚历山大·冯·洪堡是威廉·冯·洪堡的弟弟，闻明的天然科学家和探险家。他是天下上第一个大学地舆系——柏林大学地舆系的首任系主任。亚历山大·冯·洪堡相配可爱数学，对德国数学界的影响很大。比如，1826年他曾给年青的狄利克雷写过推选信，推选他到柏林大学任职；匡助雅克比（C.G.J. Jacobi，1804-1851）争取过津贴，还与克罗内克（L. Kronecker，1823-1891）练习；此外，他还匡助过高斯、史坦纳（Steinner，1796-1863）和库默尔（E.E. Kummer，1810-1893）任素质等职位。为了挂牵这位伟大的科学家，柏林大学于1860年建造了闻明的洪堡基金。得到资助的学者一般被称为洪堡学者，我国有不少学者齐曾得到过洪堡基金的资助。这所比哥廷根大学创办晚75年的柏林大学赋予了大学以新的含义——学术研究。大学的有趣不仅在于教化，还在于科学研究，探求说念理，这即是柏林大学的理念，这一理念代表着新式大学的发展标的。与隧说念由普鲁士东说念主建立的新式研究型大学比较，由英国东说念主建立的哥廷根大学似乎更防备名流栽种，这点在高斯身上体现得大书特书。但不论怎么说，19世纪30年代柏林大学阐扬有了数学系，狄利克雷被聘为柏林大学的素质。哥廷根数学的阵痛柏林大学的兴起是普鲁士通盘国度兴旺发达的一个缩影。普鲁士逐渐地强盛起来并试图完成期间赋予它的职责——适度德国分裂的风景。从哥廷根大学毕业的普鲁士首相俾斯麦运转了德领路铁与血的调治。1866年，也即是黎曼死亡的那一年，普奥干戈爆发并以《布拉格和约》而告终，战时协助奥地利的汉诺威被普鲁士吞并，哥廷根大学的地位一落千丈。而与之相背，柏林则从普鲁士这个邦国的齐门一跃成为北德领路联邦的齐门，5年之后，柏林又成为通盘德领路联邦的齐门，柏林大学的地位得到了极大的普及。有一件事能反应出柏林关于哥廷根的数学上风，黎曼死亡后哥廷根曾试图礼聘柏林大学的克罗内克，但克罗内克婉词谢却了，原因是柏林的学习、干事、生涯环境使克罗内克感到知足。其实不仅如斯，柏林大学的数学在魏尔斯特拉斯、库默尔和克罗内克的指令下也曾发展到一个极端的档次，在函数论、数论、几何基础标的齐有很强的实力，何况酿成了一个家数，这即是数学史上闻明的柏林家数。但阵痛事后哥廷根终于迎来了我方的光泽，这一光泽缔造出一个新的家数——哥廷根家数。到19世纪末期，跟着柏林三巨头的死亡，柏林大学的上风逐渐丧失，到20世纪初，风景也曾完全逆转过来了。1902年，跟着富克斯（I.L. Fuchs，1833-1902）的死亡，柏林大学试图礼聘哥廷根的希尔伯特（D. Hilbert，1862-1943）来继任这个位置，希尔伯特不仅拒却了这一任命，相背他还提议克莱因要求德领路栽种文化部部长阿尔说念夫（F. Althoff，1839-1908）在哥廷根增设一个数学素质席位，何况礼聘他的好友闵科夫斯基（H. Minkowski，1864-1909）来担任这个位置，这一提议也被阿尔说念夫收受。克莱因与阿尔说念夫相识于普法干戈（1870-1871年），他们互相相配尊重对方。由于这层干系的存在，阿尔说念夫相配支抓哥廷根数学的发展，这么到了1902年，哥廷根在数学素质的数目上也赶上和逾越了柏林大学，由此哥廷根数学运转了确凿有趣上的黄金期间。图片
柏林三巨头。从左至右：魏尔斯特拉斯（1815-1897）是柏林家数的首领，在德国享有重大的权威；克罗内克的敦厚库默尔（1810-1893）；直观主见的前驱——克罗内克（1823-1891）
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哥廷根光泽的缔造者——希尔伯特（1862-1943）在无数刻画哥廷根数学的尊府中，过多的文字留在了高斯、狄利克雷、黎曼、克莱因和希尔伯特哪里。但是黎曼1866年死亡之后的继任者是谁？在克莱因1886年到哥廷根任素质之前，哥廷根的数学又是如何发展的呢？图片
哥廷根光泽的缔造者——克莱因（1849-1925）黎曼的继任者——克莱布什克莱布什（A. Clebsch，1833-1872）生于东普鲁士的哥尼斯堡，1850年入哥尼斯堡大学，深受两位敦厚黑塞（Hesse）和里奇劳特（F. Richelot）的影响，他们齐是雅克比的学生。实质上，克莱布什从未与雅克比谋面，因为雅克比在他入学后第二年（1851年）就死亡了，但克莱布什通过集聚雅克比的全集而受到了雅克比的影响。1854年克莱布什到柏林深造。1858年到1863年在卡尔斯鲁厄（Karlsruhe）任表面力学素质，其后又在吉森（Giessen）任数学素质。1868年克莱布什移居哥廷根，成为黎曼的继任者。同庚，他与纽曼（C.G. Neumann，1832-1925）一齐创办了一份遑急的数学杂志《数学年刊》（Mathematische Annalen），这是一份相配有影响的杂志，希尔伯特从1902年起一直担任该刊的主编。图片
克莱布什（1833-1872）克莱布什早期干事的兴致在数学物理方面，他对变分法和微分方程也有研究，但克莱布什最主要的干事是代数几何。代数几何是19世纪最伟大的数学创造之一，100多年来已发展成为数学的中枢部分，它与所少见学分支齐有着密不行分的接洽并推动着它们的发展。代数几何学的研究对象是由多项式方程或方程组所界说的代数簇。代数簇的特殊情形是代数弧线和代数曲面。克莱布什研究的主如果复数域上的代数弧线和代数曲面。代数几何的中心问题是分类，19世纪中世代数弧线的分类由黎曼所奠定，并由克莱布什剿袭。为了对弧线进行分类，克莱布什初度引入连通、亏格等见解，解释了一系列接洽定理。克莱布什明确指出，代数几何学研究双有理变换特别不变量，而他本东说念主恰是以这种不雅点研究代数弧线和代数曲面的。克莱布什独创了德国的代数几何家数，他和黎曼被称为是经典代数几何的奠基东说念主。他的学生布瑞尔（A.W.V. Brill，1842-1935）和M. 诺特（M. Nother，1844-1921）剿袭发展了克莱布什的想想，他们齐是其时闻明的代数几何学家。而M. 诺特恰是数学史上最伟大的女数学家E. 诺特（E. Nother，1882-1935）的父亲，其后E. 诺特来到了哥廷根，在哥廷根数学的发展中阐扬了不行臆想的作用。像M. 诺特和E. 诺特这么父女同为凸起数学家的组合在数学史上似乎并未几见。但是自尊斯死亡之后，哥廷根大学的数学素质似乎中了一个魔咒：其继任者齐没能在这个职位上干多永劫期。狄利克雷在这个位置上只待了4年就死亡了。而其继任者黎曼在担任这个职位3年后感染了胸膜炎，后期一直介意大利养痾。作为黎曼的继任者，克莱布什也没能避免，在他任素质4年后由于患白喉病而死亡。数学素质的频繁更替对哥廷根数学的发展极端不利。把我方置于危机境地——富克斯图片
色情网站微分方程的代名词——富克斯（1833-1902）克莱布什的继任者是富克斯，富克斯于1874年来到哥廷根。但是富克斯来到哥廷根大学不到一年，便接受了海德堡大学的任命而离去，这又从侧面讲明了哥廷根其时致使与海德堡比较也莫得多大的上风，在康斯坦丝·瑞德《希尔伯特——数学天下的亚历山大》（李文林、袁向东译）中对海德堡大学赐与了如下指摘：海德堡大学是德国总共大学中最讨东说念主可爱和最宽裕幽闲色调的学校。其时的德国大学之间东说念主才可以目田流动，学生可以在第二个学期转到别的学校听课。比较恰恰的是，希尔伯特于1881年到海德堡大学听课，富克斯刚好在哪里任教。富克斯的讲课风景不落俗套，给希尔伯特留住了很深的印象。富克斯课前一般不作念准备，对要讲授的内容老是现讲现推，习尚于在课堂上把我方“置于危机的境地”。这照实是一个难得的契机，可以看到一位数学家的想维历程。不行否定这对希尔伯特有很大影响，以致于其后希尔伯特在哥廷根讲课前也只作念一般的准备，课上有细节不实更是常事，但是这更有助于他忽然伸开对某个事实的想法。这点与克莱因追求完整无缺大不换取，克莱因老是比学生们提前到，以稽查他可能简易的所在而加以改正。天然他们的证据齐是经典。富克斯主要从事的是微分方程方面的研究，他在微分方程方面的重大孝顺使得他成为微分方程的代名词。富克斯在常微分方程的表面方面，作念出了遑急孝顺。他应用超几何级数解线性微分方程，1866年富克斯在他的一篇论文中指出，在奇点邻域内的解可以用级数表出，研究这一问题的表面被称为线性微分方程的富克斯表面。这一表面径直指向了庞加莱（J.H. Poincaré，1854-1912）的自守函数表面，另一方面通过克莱因与椭圆函数论相鸠集，并转折地引起了庞加莱与克莱因的竞争。这些问题成为19世纪70-80年代许无数学家研究的主要课题，而且在微分方程表面本人中也饰演着遑急的扮装。自守函数中有一类遑急的函数称为富克斯函数。这类函数在一种线性变换的作用下是不变的，这些变换可以酿成一个群，叫作念富克斯群，这齐讲明富克斯在线性常微分方程方面有着重大的孝顺。富克斯的继任者——施瓦茨（1875-1892）图片
施瓦茨（1843-1921）1875年富克斯离任之后，哥廷根终于迎来了一位在哥廷根任职逾越10年以上的数学素质——施瓦茨（H.A. Schwarz，1843-1921），施瓦茨对哥廷根有极端的影响。施瓦茨到哥廷根后，证据他的证据内容制定了一份详备的筹办：来源，先容微分与积分周期隐蔽、解析几何、二阶曲面、双曲率曲面和空洞几多么初等内容。然后先容解析函数周期隐蔽、椭圆函数、极小曲面、超几何级数以及函数论等其他规模。在数学系素质斯特恩（M.A. Stern，1807-1894）的支抓下，1878年数学物理研讨会率先建立一个流动藏书楼，这个藏书楼一直在施瓦茨的搞定下，直到他离开哥廷根。跟着乌尔里希（G.K.J. Ulrich，1798-1879）的死亡，他又经受了数学用具和模子室。当今咱们能在哥廷根数学研究所第三层走廊的模子室里看到多达500多件的模子。施瓦茨的数学确立，主要体当今三个方面，阔别是分析学、微分方程和几何学。施瓦茨深受其敦厚魏尔斯特拉斯的影响，对函数论情有独钟。特别是在微分方程方面，施瓦茨在研究二阶线性微分方程的解的结构时，引入了一类线性变换群，这一干事为自守函数研究创造了条款。少顷的继任者——韦伯（1892-1895）图片
H. 韦伯（1842-1913）H. 韦伯（H. Weber，1842-1913）诞生于海德堡，1863年获取海德堡大学博士学位。毕业后韦伯在一系列学校任职，他曾在哥尼斯堡大学任素质。哥尼斯堡大学的数学因雅克比而着名，从数学史来看，雅克比的名声至少要比当今高得多，他被誉为他阿谁期间仅次于高斯的数学家，这也不难剖释法国天才数学家伽罗瓦（E. Galois，1811-1832）在临死前一再要求请高斯和雅克比就他研究问题的遑急性公诱惑表看法。雅克比在数学史上保抓着几项纪录，他是数学史上最为费力的数学家；此外，数学接头班轨制亦然由他创造的。接头班是德国数学栽种和科研的一大创造，在德国数学的兴起中饰演着极为遑急的扮装，直到今天它仍是数学教化和科研的不二秘诀，天下各地也常常如期大要不如期举办各式闻明的数学接头班。韦伯资质极高，多材多艺，在数论和数学物理方面齐作出过遑急的孝顺，算得上是雅克比的传东说念主。而年青的希尔伯特在哥尼斯堡大学学习期间，曾侍从他学习过数论和函数论。惟恐的是，当1895年韦伯离任去斯特拉斯堡大学任职时，接替他的恰是希尔伯特。韦伯是第一个给出群抽象界说的数学家，在群论抽象化的历程中起着举足轻重的作用。他最闻明的论著是《代数学教程》（Lehrbuch der Algebra），《代数学教程》在很长的一段时期里被行为念了课本。哥廷根的其他磨真金不怕火蒂博（B.F. Thibaut，1775-1832），1797年任哥廷根讲师，1805年任素质。高斯不擅长教化，莫得几许学生，也莫得东说念主答允选他的课，而蒂博则与高斯酿成了显然对比，他被誉为哥廷根最佳的讲课敦厚，其修辞格调致使可以和歌德比较。蒂博的主要研究规模为微分方程和积分学。他于1832年将一批测地用具和模子捐馈遗了学校，到1865年这些用具和模子被特意放在一个展厅里。这一展厅由乌尔里希负责，经过施瓦茨和希尔伯特的规画，特别是克莱因，他致使为模子室拉到了赞助，从而使模子室获取了厚实的资金支抓。这即是当今哥廷根数学所第三层走廊里的模子的历史起源。可以遐想，这些模子在昔日的几何教化乃至科研中阐扬了多么遑急的作用，如今在Mathematica和Maple等数学软件问世后，这些模子更多的是一种对历史的承载。图片
哥廷根数学研究所第三层的数学模子斯特恩，1848年景为全职素质，这一年运转，哥廷根领有了两个数学素质席位。此外，斯特恩如故德领路第一个犹太素质，最早阐扬到了黎曼的资质，曾协助高斯培养黎曼，克莱因继任的恰是他的位置。严格地说，克莱因并不属于高斯、狄利克雷和黎曼这一素质席位的剿袭东说念主（见收尾附录）。乌尔里希，数学物理接头班的主要参与者之一，哥廷根大学数学用具和模子室的主要负责者，主要研究规模为立体几何、三角学、应用几何、力学和土木建筑。利斯亭（J.B. Listing，1808-1882），1834年博士毕业于哥廷根，其导师为高斯。1837年，W. 韦伯（W.E. Weber，1804-1891，阐扬与之前的H. 韦伯不是团结个东说念主）由于参与了七正人事件而被解职，因此高斯提议利斯亭继任这一职位 (物理系的职位)，尽管其时他莫得发表过一篇著作。在高斯的影响下，他于1848年出书了《拓扑学初步研究》（Vorstu-dien zur Topologie），这是初度在出书物顶用到“拓扑”这个词，尽管在之前的信件中已出现过访佛的词汇。持久以来，这门学科更多被称为位置分析（Analysis Situs），直到20世纪20年代好意思国数学家莱夫谢兹（S. Lefschetz，1884-1972）使用了拓扑学（Topology）这个称号，这一学科的称号才固定下来。图片
莫比乌斯带最早是由利斯亭于1861年发现的，4年后莫比乌斯才对此作了神态。顺应的名字应该是利斯亭带，当今为其正名为时已晚
西林（Ernst Schering，1824-1897），德国数学家，1857年在哥廷根大学获取博士学位，他最闻明的干事是对高斯著作的剪辑。结语在高斯期间，德国除了高斯以外，仅有少数几个数学家进行着数学研究。这一风景在德领路调治后飞速得到了改不雅，其时德国数学已处于广博上涨的状况，其普及性即使法国也不行比。与这一时期的柏林大学比较，哥廷根数学发展的速率大大过时了，其时哥廷根数学在德国宽阔的数学研究中心中已莫得多大上风。诚然克莱布什、富克斯、施瓦茨、H. 韦伯在数学史上莫得像高斯、狄利克雷和黎曼那样显贵的地位，但他们在哥廷根数学的发展史上却羁系冷漠。在克莱因到达哥廷根之前，恰是他们提拔了哥廷根数学的发展，何况在函数论、代数几何、微分方程、代数等标的保抓了最初。从历史上看，函数论处于19世纪数学的中心性位，简直是评价所少见学家的试金石。许多大数学家在其时之是以了不得，并非是像咱们当今觉得的那样，而是由于他们在函数论这个规模的凸起干事。雅克比、魏尔斯特拉斯、黎曼、庞加莱更是因为他们对函数论的干事而获取了他们贵重的职位和显贵的名声。数学发展需要民众，在施瓦茨和韦伯离任后，克莱因有了大施拳脚的契机，他网罗民众，在1895年聘来了希尔伯特，其后的发展解释了他荒芜的眼神，恰是希尔伯特重大的权威，给哥廷根数学带来了无比的声誉。柏林则由于魏尔斯特拉斯的死亡而趋于式微。数学发展需要有很强组织才调的东说念主来指令，克莱因的行政天才的竟然确给哥廷根的数学发展带来了重大的便利，而柏林的克罗内克也为柏林争取过不少利益。数学的发展还需要战术，需要国度和政府的厚实支抓。德国大学之间充分的东说念主才交流、默契的竞争以及谐和的发展，使得哥廷根数学逐渐迎来了我方的光泽。但无可否定，柏林大学19世纪后半叶以及哥廷根数学1886-1933年间的光泽是与德领路文化栽种部的厚实支抓分不开的。终于在1933年之后，跟着纳粹的掌权，哥廷根数学又毁于一朝，于今也莫得收复昔日的荣耀。附：哥廷根数学的编制（1800-1900）哥廷根初期唯有一个数学素质席位，也很少有学生弃取数学来作为他们主要的研究规模。1848年，哥廷根建造了第二个数学素质席位。哥廷根数学第一素质1807-1855 高斯 1856-1859 狄利克雷 1860-1866 黎曼 1868-1872 克莱布什 1874-1875 富克斯 1875-1892 施瓦茨 1892-1895 H. 韦伯 1895-1930 希尔伯特哥廷根数学第二素质1848-1883 斯特恩1886-1913 克莱因
作家简介图片
王涛，河北师范大学数学学士、博士，南边科技大学数学系博士后，中国科学院天然科学史研究所副研究员。
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